Semidefinite Programming. methods and algorithms for energy management

La présente thèse a pour objet d explorer les potentialités d une méthode prometteuse de l optimisation conique, la programmation semi-définie positive (SDP), pour les problèmes de management d énergie, à savoir relatifs à la satisfaction des équilibres offre-demande électrique et gazier.Nos travaux se déclinent selon deux axes. Tout d abord nous nous intéressons à l utilisation de la SDP pour produire des relaxations de problèmes combinatoires et quadratiques. Si une relaxation SDP dite standard peut être élaborée très simplement, il est généralement souhaitable de la renforcer par des coupes, pouvant être déterminées par l'étude de la structure du problème ou à l'aide de méthodes plus systématiques. Nous mettons en œuvre ces deux approches sur différentes modélisations du problème de planification des arrêts nucléaires, réputé pour sa difficulté combinatoire. Nous terminons sur ce sujet par une expérimentation de la hiérarchie de Lasserre, donnant lieu à une suite de SDP dont la valeur optimale tend vers la solution du problème initial.Le second axe de la thèse porte sur l'application de la SDP à la prise en compte de l'incertitude. Nous mettons en œuvre une approche originale dénommée optimisation distributionnellement robuste , pouvant être vue comme un compromis entre optimisation stochastique et optimisation robuste et menant à des approximations sous forme de SDP. Nous nous appliquons à estimer l'apport de cette approche sur un problème d'équilibre offre-demande avec incertitude. Puis, nous présentons une relaxation SDP pour les problèmes MISOCP. Cette relaxation se révèle être de très bonne qualité, tout en ne nécessitant qu un temps de calcul raisonnable. La SDP se confirme donc être une méthode d optimisation prometteuse qui offre de nombreuses opportunités d'innovation en management d énergie.The present thesis aims at exploring the potentialities of a powerful optimization technique, namely Semidefinite Programming, for addressing some difficult problems of energy management. We pursue two main objectives. The first one consists of using SDP to provide tight relaxations of combinatorial and quadratic problems. A first relaxation, called standard can be derived in a generic way but it is generally desirable to reinforce them, by means of tailor-made tools or in a systematic fashion. These two approaches are implemented on different models of the Nuclear Outages Scheduling Problem, a famous combinatorial problem. We conclude this topic by experimenting the Lasserre's hierarchy on this problem, leading to a sequence of semidefinite relaxations whose optimal values tends to the optimal value of the initial problem.The second objective deals with the use of SDP for the treatment of uncertainty. We investigate an original approach called distributionnally robust optimization , that can be seen as a compromise between stochastic and robust optimization and admits approximations under the form of a SDP. We compare the benefits of this method w.r.t classical approaches on a demand/supply equilibrium problem. Finally, we propose a scheme for deriving SDP relaxations of MISOCP and we report promising computational results indicating that the semidefinite relaxation improves significantly the continuous relaxation, while requiring a reasonable computational effort.SDP therefore proves to be a promising optimization method that offers great opportunities for innovation in energy management.PARIS11-SCD-Bib. électronique (914719901) / SudocSudocFranceF

Un logiciel derive de l'algorithme de KARMARKAR pour la resolution de programmes lineaires de grande taille

SIGLECNRS T Bordereau / INIST-CNRS - Institut de l'Information Scientifique et TechniqueFRFranc

Problèmes de Sac-à-dos stochastiques quadratiques et programmation semidéfinie

ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF

Optimisation robuste dans les réseaux de télécommunication

Pour répondre à l'augmentation des besoins, les réseaux de télécommunication se sont largement développés ces dernières années. Cela a impliqué à la fois par un développement des infrastructures des réseaux mais aussi par l émergence de différents opérateurs. Le premier point s est traduit par une densification du réseau internet et par son élargissement géographique. Le second point résulte notamment de l ouverture à la concurrence. Le dégroupage permet aux opérateurs alternatifs de bénéficier d un accès direct à l utilisateur final. Ils sont en mesure de contrôler de bout en bout le réseau et de fournir ainsi un service différencié de celui de l opérateur historique, en utilisant une partie de son réseau. Bien que cette concurrence soit bénéfique pour les consommateurs, elle a fait apparaître de nouveaux enjeux et de nouvelles problématiques au niveau des opérateurs de télécommunication. Ces derniers doivent en effet faire face à l évolution constante de la topologie du réseau et prendre aujourd hui des décisions stratégiques et commerciales pour l avenir. Leur marge financière étant étroite, ils doivent donc anticiper au mieux l évolution de la demande et celle du réseau internet. Dans ce cadre, nous nous sommes demandés comment proposer des solutions à ces opérateurs. Pour cela, nous proposons dans ce manuscrit une approche originale basée sur la théorie de la robustesse. Notre objectif est de proposer un modèle simplifié, prenant en compte les évolutions de la topologie du réseau et grâce auquel, on peut proposer des solutions aux opérateursTo answer the increase in the needs, the telecommunications networks largely developed these last years. That implied at the same time by a development of the infrastructures of the networks but also by the emergence of various operators. The first point resulted by a thickening of Internet network and its geographical widening. The second point results in particular from the opening to competition.Nowadays, it is possible to the alternate operators to profit from a direct access to the end-user. They are able to control the network from beginning to end and to provide a service differentiated from that of the historical operator, by using part of its network. Although this competition is beneficial for the consumers, it revealed new stakes and new problems on the level of the operators of telecommunication. Indeed, they must face the constant evolution of topology network and make today strategic and commercial decisions for the future. Their financial margin being narrow, they must thus anticipate the evolution as well as possible of ask and that of Internet network. Within this framework, we wondered how to propose solutions with these operators. For that, we propose in this manuscript an original approach based on the theory of the robustness. Our objective is to propose a simplified model, fascinating in account evolutions of the topology of the network and thanks to which, we can propose solutions with the operatorsORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF

Relaxations semidéfinies pour les problèmes d'affectation de fréquences dans les réseaux mobiles et de l'affectation quadratique

Malgré le développement exponentiel de l'informatique, de nombreux problèmes ne peuvent pas être résolus de manière exacte en un temps de calcul raisonnable. Il en va ainsi des deux problèmes étudiés dans cette thèse, à savoir le problème de l'affectation de fréquences (FAP) et le problème de l'affectation quadratique (QAP).Le FAP et le QAP se modélisent par des problèmes d'optimisation quadratiques en nombres entiers. En pratique, les instances de ces problèmes comportent un nombre de contrainte et de variable très important. Il est donc irréaliste d'appliquer directement des méthodes de résolution exacte sur des instances réelles. Il est cependant intéressant de calculer des bornes inférieures de bonne qualité. Ces bornes peuvent être calculées en relâchant certaines contraintes du problème. Parmi les différentes relaxations possibles, nous mettrons l'accent sur la relaxation linéaire classique de Fortet, la relaxation RLT (Reformulation-Linearization technique) dûe aux travaux de Sherali et Adams et sur la relaxation semidéfinie (SDP). La relaxation semidéfinie est celle que nous avons étudiée de manière approfondie.Nous proposons d'amélioration des bornes inférieures SDP par l'introduction d'inégalités valides dans un algorithme de plans coupants. Ces inégalités induisent des facettes du polytope quadrique. Nous verrons à travers les résultats numériques l'intérêt de cet approche. Nous présentons aussi les heuristiques que nous avons développées pour calculer des solutions approchées du FAP afin d'évaluer la qualité denos bornes inférieures.Nous comparons également les résultats des heuristiques implémentées par France Telecom avec nos propres résultats.Despite an exponential increase of calculators processing data capacity, many problems still can not be solved in a reasonable computing time. Among these, the two problems studied in this thesis: the wireless network frequency assignment problem (FAP) and the quadratic assignment problem (QAP) which are known to be among the hardest combinatorial optimization problems.Theoretically, the FAP and QAP problems are modeled by a discrete quadratic optimization, but practically, instances of these problems involve such a large number of variables and constraints that makes it unrealistic to give an exact solution. However, it's interesting to calculate a lower bound that's leads to reduced size problems. These limits are calculated by relaxing some of the problem constraints. In this thesis we study the Fortet linear relaxation, the Reformulation-Linearization Technique RLT and we focus especially on the semidefinite relaxation (SDP).We introduce a new approach to improve systematically the SDP lower bounds by adding a set of some valid inequalities inducing facets of the quadric polytope. We report computational results that show the efficiency of this approach.We present also heuristics to calculate FAP upper bounds solutions and compare them to the lower bounds. Finally, we compare our results to those obtained by heuristics developed by France telecom.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF

Optimisation combinatoire stochastique

Dans cette thèse, nous étudions trois types de problèmes stochastiques : les problèmes avec contraintes probabilistes, les problèmes distributionnellement robustes et les problèmes avec recours. Les difficultés des problèmes stochastiques sont essentiellement liées aux problèmes de convexité du domaine des solutions, et du calcul de l espérance mathématique ou des probabilités qui nécessitent le calcul complexe d intégrales multiples. A cause de ces difficultés majeures, nous avons résolu les problèmes étudiées à l aide d approximations efficaces.Nous avons étudié deux types de problèmes stochastiques avec des contraintes en probabilités, i.e., les problèmes linéaires avec contraintes en probabilité jointes (LLPC) et les problèmes de maximisation de probabilités (MPP). Dans les deux cas, nous avons supposé que les variables aléatoires sont normalement distribués et les vecteurs lignes des matrices aléatoires sont indépendants. Nous avons résolu LLPC, qui est un problème généralement non convexe, à l aide de deux approximations basée sur les problèmes coniques de second ordre (SOCP). Sous certaines hypothèses faibles, les solutions optimales des deux SOCP sont respectivement les bornes inférieures et supérieures du problème du départ. En ce qui concerne MPP, nous avons étudié une variante du problème du plus court chemin stochastique contraint (SRCSP) qui consiste à maximiser la probabilité de la contrainte de ressources. Pour résoudre ce problème, nous avons proposé un algorithme de Branch and Bound pour calculer la solution optimale. Comme la relaxation linéaire n est pas convexe, nous avons proposé une approximation convexe efficace. Nous avons par la suite testé nos algorithmes pour tous les problèmes étudiés sur des instances aléatoires. Pour LLPC, notre approche est plus performante que celles de Bonferroni et de Jaganathan. Pour MPP, nos résultats numériques montrent que notre approche est là encore plus performante que l approximation des contraintes probabilistes individuellement.La deuxième famille de problèmes étudiés est celle relative aux problèmes distributionnellement robustes où une partie seulement de l information sur les variables aléatoires est connue à savoir les deux premiers moments. Nous avons montré que le problème de sac à dos stochastique (SKP) est un problème semi-défini positif (SDP) après relaxation SDP des contraintes binaires. Bien que ce résultat ne puisse être étendu au cas du problème multi-sac-à-dos (MKP), nous avons proposé deux approximations qui permettent d obtenir des bornes de bonne qualité pour la plupart des instances testées. Nos résultats numériques montrent que nos approximations sont là encore plus performantes que celles basées sur les inégalités de Bonferroni et celles plus récentes de Zymler. Ces résultats ont aussi montré la robustesse des solutions obtenues face aux fluctuations des distributions de probabilités. Nous avons aussi étudié une variante du problème du plus court chemin stochastique. Nous avons prouvé que ce problème peut se ramener au problème de plus court chemin déterministe sous certaine hypothèses. Pour résoudre ce problème, nous avons proposé une méthode de B&B où les bornes inférieures sont calculées à l aide de la méthode du gradient projeté stochastique. Des résultats numériques ont montré l efficacité de notre approche. Enfin, l ensemble des méthodes que nous avons proposées dans cette thèse peuvent s appliquer à une large famille de problèmes d optimisation stochastique avec variables entières.In this thesis, we studied three types of stochastic problems: chance constrained problems, distributionally robust problems as well as the simple recourse problems. For the stochastic programming problems, there are two main difficulties. One is that feasible sets of stochastic problems is not convex in general. The other main challenge arises from the need to calculate conditional expectation or probability both of which are involving multi-dimensional integrations. Due to the two major difficulties, for all three studied problems, we solved them with approximation approaches.We first study two types of chance constrained problems: linear program with joint chance constraints problem (LPPC) as well as maximum probability problem (MPP). For both problems, we assume that the random matrix is normally distributed and its vector rows are independent. We first dealt with LPPC which is generally not convex. We approximate it with two second-order cone programming (SOCP) problems. Furthermore under mild conditions, the optimal values of the two SOCP problems are a lower and upper bounds of the original problem respectively. For the second problem, we studied a variant of stochastic resource constrained shortest path problem (called SRCSP for short), which is to maximize probability of resource constraints. To solve the problem, we proposed to use a branch-and-bound framework to come up with the optimal solution. As its corresponding linear relaxation is generally not convex, we give a convex approximation. Finally, numerical tests on the random instances were conducted for both problems. With respect to LPPC, the numerical results showed that the approach we proposed outperforms Bonferroni and Jagannathan approximations. While for the MPP, the numerical results on generated instances substantiated that the convex approximation outperforms the individual approximation method.Then we study a distributionally robust stochastic quadratic knapsack problems, where we only know part of information about the random variables, such as its first and second moments. We proved that the single knapsack problem (SKP) is a semedefinite problem (SDP) after applying the SDP relaxation scheme to the binary constraints. Despite the fact that it is not the case for the multidimensional knapsack problem (MKP), two good approximations of the relaxed version of the problem are provided which obtain upper and lower bounds that appear numerically close to each other for a range of problem instances. Our numerical experiments also indicated that our proposed lower bounding approximation outperforms the approximations that are based on Bonferroni's inequality and the work by Zymler et al.. Besides, an extensive set of experiments were conducted to illustrate how the conservativeness of the robust solutions does pay off in terms of ensuring the chance constraint is satisfied (or nearly satisfied) under a wide range of distribution fluctuations. Moreover, our approach can be applied to a large number of stochastic optimization problems with binary variables.Finally, a stochastic version of the shortest path problem is studied. We proved that in some cases the stochastic shortest path problem can be greatly simplified by reformulating it as the classic shortest path problem, which can be solved in polynomial time. To solve the general problem, we proposed to use a branch-and-bound framework to search the set of feasible paths. Lower bounds are obtained by solving the corresponding linear relaxation which in turn is done using a Stochastic Projected Gradient algorithm involving an active set method. Meanwhile, numerical examples were conducted to illustrate the effectiveness of the obtained algorithm. Concerning the resolution of the continuous relaxation, our Stochastic Projected Gradient algorithm clearly outperforms Matlab optimization toolbox on large graphs.PARIS11-SCD-Bib. électronique (914719901) / SudocSudocFranceF

Problèmes d Optimisation Stochastique avec Contrainte de Sac-à-Dos

Etant donné un ensemble d'objets, chacun ayant un poids et une valeur. Le problème de sac-à-dos consiste à choisir un sous-ensemble d'objets qui (i) respecte une certaine restriction du poids (la capacité du sac-à-dos) et (ii) dont la valeur totale est maximisée. Dans cette thèse nous étudions quatre problèmes d'optimisation stochastique avec contrainte de sac-à-dos: le problème de sac-à-dos avec recours simple, le problème de sac-à-dos avec contrainte probabiliste, le problème de sac-à-dos avec recours et un problème bi-niveau stochastique avec contrainte de sac-à-dos probabiliste. Les problèmes ont en commun que les poids dans la contrainte de sac-à-dos sont supposés être aléatoires. Nous proposons de résoudre les problèmes du sac-à-dos avec recours simple ou avec contrainte probabiliste en appliquant un algorithme branch-and-bound . Des bornes supérieures sont obtenues en résolvant des relaxations continues. Pour ceci, nous appliquons un algorithme de gradient stochastique. Concernant le cas du sac-à-dos avec recours, nous traitons dans un premier temps le problème avec des poids gaussiens et nous proposons des bornes inférieures et supérieures sur sa valeur optimale. Dans un deuxième temps, nous étudions le cas d une distribution discrète des poids. Nous montrons que (si P n'est pas égal à NP) le problème déterministe équivalent n admet pas d algorithme d approximation avec une garantie de performance égale à une valeur constante. Le problème bi-niveau stochastique avec contrainte de sac-à-dos probabiliste est d abord reformulé comme un problème bilinéaire. Ce dernier étant difficile à résoudre à l optimum, nous proposons de résoudre une relaxation avec un nouvel algorithme itératif.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF

Variantes non standards de problèmes d'optimisation combinatoire

Cette thèse est composée de deux parties, chacune portant sur un sous-domaine de l'optimisation combinatoire a priori distant de l'autre. Le premier thème de recherche abordé est la programmation biniveau stochastique. Se cachent derrière ce terme deux sujets de recherche relativement peu étudiés conjointement, à savoir d'un côté la programmation stochastique, et de l'autre la programmation biniveau. La programmation mathématique (PM) regroupe un ensemble de méthodes de modélisation et de résolution, pouvant être utilisées pour traiter des problèmes pratiques que se posent des décideurs. La programmation stochastique et la programmation biniveau sont deux sous-domaines de la PM, permettant chacun de modéliser un aspect particulier de ces problèmes pratiques. Nous élaborons un modèle mathématique issu d'un problème appliqué, où les aspects biniveau et stochastique sont tous deux sollicités, puis procédons à une série de transformations du modèle. Une méthode de résolution est proposée pour le PM résultant. Nous démontrons alors théoriquement et vérifions expérimentalement la convergence de cette méthode. Cet algorithme peut être utilisé pour résoudre d'autres programmes biniveaux que celui qui est proposé.Le second thème de recherche de cette thèse s'intitule "problèmes de coupe et de couverture partielles dans les graphes". Les problèmes de coupe et de couverture sont parmi les problèmes de graphe les plus étudiés du point de vue complexité et algorithmique. Nous considérons certains de ces problèmes dans une variante partielle, c'est-à-dire que la propriété de coupe ou de couverture dont il est question doit être vérifiée partiellement, selon un paramètre donné, et non plus complètement comme c'est le cas pour les problèmes originels. Précisément, les problèmes étudiés sont le problème de multicoupe partielle, de coupe multiterminale partielle, et de l'ensemble dominant partiel. Les versions sommets des ces problèmes sont également considérés. Notons que les problèmes en variante partielle généralisent les problèmes non partiels. Nous donnons des algorithmes exacts lorsque cela est possible, prouvons la NP-difficulté de certaines variantes, et fournissons des algorithmes approchés dans des cas assez généraux.This thesis is composed of two parts, each part belonging to a sub-domain of combinatorial optimization a priori distant from the other. The first research subject is stochastic bilevel programming. This term regroups two research subject rarely studied together, namely stochastic programming on the one hand, and bilevel programming on the other hand. Mathematical Programming (MP) is a set of modelisation and resolution methods, that can be used to tackle practical problems and help take decisions. Stochastic programming and bilevel programming are two sub-domains of MP, each one of them being able to model a specific aspect of these practical problems. Starting from a practical problem, we design a mathematical model where the bilevel and stochastic aspects are used together, then apply a series of transformations to this model. A resolution method is proposed for the resulting MP. We then theoretically prove and numerically verify that this method converges. This algorithm can be used to solve other bilevel programs than the ones we study.The second research subject in this thesis is called "partial cut and cover problems in graphs". Cut and cover problems are among the most studied from the complexity and algorithmical point of view. We consider some of these problems in a partial variant, which means that the cut or cover property that is looked into must be verified partially, according to a given parameter, and not completely, as it was the case with the original problems. More precisely, the problems that we study are the partial multicut, the partial multiterminal cut, and the partial dominating set. Versions of these problems were vertices arePARIS11-SCD-Bib. électronique (914719901) / SudocSudocFranceF